kmatematikka: abril 2012

domingo, 29 de abril de 2012

Números Felizes

Um número natural "a" é dito "Número Feliz" se, e somente se, existe um termo unitário na seqüência {an}, onde a = a₁ e a_n+1 é a soma dos quadrados dos algarismos (na base decimal) de a_n.

Bem, isso quer dizer, por exemplo, que 7 é um Número Feliz.

Veja como se chegou a conclusão do 7 ser feliz.

Montamos uma seqüência com o primeiro termo valendo 7 e buscamos a existência de um termo unitário (pela regra da soma dos quadrados dos algarimos do número anterior)

termo	valor	soma dos quadrados dos algarismos
a₁	7	7² = 49
a₂	49	4²+ 9² = 16 + 81 = 97
a₃	97	9²+ 7² = 130
a₄	130	1²+ 3² + 0² = 10
a₅	10	1²+ 0² = 1
a₆	1

Cardica

Se um número X é feliz, então qualquer permutação de seus algarismos produzirá outro número Y, também feliz.

Exemplo:

130, 013, 310, 301, 103, 031

Além disso, a inserção de algarimos "0" em qualquer número feliz, ainda gera um número feliz. Este fato, isolado, já garante que existem infinitos números felizes.

Usando essa dica, é fácil saber, por exemplo, que 2008 é um número feliz, pois 28 é feliz ( a inserção dos zeros no meio é indiferente).

Assim, o número 7 é um número feliz porque foi possível determinar um termo unitário na seqüência.

Repare que na mesma seqüência (7, 49, 97, 130, 10, 1), os números entre 7 e 1 também são felizes porque usando o mesmo processo, todos são "levados" ao termo unitário, inevitavelmente.

São exemplos de Números Felizes:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496

Os números naturais que não são felizes não fecham uma seqüência com o termo unitário. São gerados infinitos termos (com a regra da soma dos quadrados dos algarismos e só parar no termo unitário)...

Exemplo disso é o número a = 9 (não é feliz):

termo	valor	soma dos quadrados dos algarismos
a₁	9	9²= 81
a₂	81	8²+ 1² = 65
a₃	65	6²+ 5² = 61
a₄	61	6²+ 1² = 37
a₅	37	3²+ 7² = 58
a₆	58	5²+ 8² = 89
a₇	89	8²+ 9² = 145
a₈	145	1²+ 4² + 5² = 42
a₉	42	4² + 2² = 20
a₁₀	20	2² + 0² = 4
a₁₁	4	4² = 16
a₁₂	16	1² + 6² = 37
a₁₃	37	este termo já ocorreu como "a₅"

Verifique que um número não feliz vai conter, ciclicamente, os termos em seqüência (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) a partir de um determinado termo.

fonte: http://www.profcardy.com/dicionario/matepedia.php?rg=36

segunda-feira, 23 de abril de 2012

Biografia de Einstein

Albert Einstein nasceu numa sexta-feira, dia 14 de março de 1879, em Ulm, uma próspera cidade ao sul da Alemanha. Ele foi o primeiro e único filho homem de Hermman Einstein e Pauline Koch. Já nos primeiros anos de sua vida, Einstein provocava comentários. Sua mãe estava convencida de que o formato de sua cabeça era fora do comum e temia que tivesse algum problema mental, porque era muito lento para aprender a falar. Passou sua juventude em Munique, onde sua família possuía uma pequena oficina destinada à construção de máquinas elétricas. Einstein não falou até os 3 anos de idade, mas desde jovem mostrou uma curiosidade brilhante sobre a Natureza, e uma habilidade para compreender conceitos matemáticos avançados. Com 12 anos de idade, aprendeu por conta própria a Geometria Euclideana.

Albert cresceu forte e saudável, embora não gostasse de praticar esportes organizados. Era um garoto quieto e particularmente solitário, que preferia ler e ouvir música. Não gostava do regime monótono e do espírito sem imaginação da escola em Munique. Se considerasse os conselhos de um de seus professores teria abandonado a escola. Quando sua família mudou-se para Milão, na Itália, Einstein tinha 15 anos. Nesta ocasião passou 1 ano com sua família em Milão. Terminou a escola secundária em Arrau, Suíça, e com boas notas somente em Matemática, entrou, em 1896, no Instituto Politécnico de Zurique, onde se graduou em 1901 com dificuldades. Einstein não gostava dos métodos de instrução lá. Freqüentemente não assistia às aulas, usando o tempo para estudar Física ou tocar seu adorado violino. Passou nos exames e graduou-se em 1900. Seus professores não o tinham como grande aluno e não o recomendariam para uma posição na Universidade. Por dois anos Einstein trabalhou como tutor e professor substituto. Em 1902, assegurou uma posição como examinador no Escritório de Patentes da Suíça em Bern. Em 1903, casou-se com Mileva Maric, que havia sido sua colega na Escola Politécnica.

Grandes Matemáticos - Pitágoras

Pitágoras é especialmente conhecido pelo teorema que leva o seu nome e que quase todos os estudantes que completam o ensino básico conhecem.
Nasceu, segundo alguns, na ilha grega de Samos, no mar Egeu, no ano 580 a.C.
Segundo dizem também, embora se saiba pouco da sua juventude, ganhou prémios nos Jogos Olímpicos. Na idade adulta a sua sede conhecimento levou-o a percorrer o médio oriente e viajou pelo Egipto, Indostão, Pérsia, Creta, Palestina.
Acabou por se fixar em Crotona no sul de Itália, onde fundou uma escola (Escola Pitagórica), cuja filosofia tinha um carácter hermético e o conhecimento era transmitido oralmente, não havendo escritos. Durante cerca de 40 anos ensinou aos seus discípulos que “o número era tudo”.
“Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões”.
(in http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/pitagoras.htm)

Pitágoras estudou e construiu os poliedros regulares que ficaram conhecidos como sólidos platónicos, tendo sido Platão o seu divulgador. São cinco e aparecem associados ao universo e aos seus elementos, tendo em atenção a forma das suas faces. O dodecaedro simbolizava o próprio universo pela sua harmonia.

(In http://mat.absolutamente.net/recursos/fichas/10geo/platon.pdf)

Pitágoras, no entanto, como já dissemos, é especialmente conhecido pelo seu teorema, que afirma que o quadrado da hipotenusa num triângulo rectângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.

São conhecidas algumas dezenas ou mesmo centenas de demonstrações do teorema. Vamos apresentar duas:

- Uma delas utiliza algumas peças do tangran para fazer a demonstração.
Num dos catetos do triângulo rectângulo pequeno cabe a peça quadrada do tangran; no outro cateto cabe um quadrado feito com os dois triângulos pequenos e na hipotenusa cabe um quadrado formado pelo triângulo médio e os dois triângulos pequenos. Verifica-se, assim, que o teorema fica demonstrado já que o triângulo médio é equivalente ao quadrado. Uma figura ilustra bem a situação:

Como é fácil de verificar a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois. Está assim demonstrado o teorema de Pitágoras.

- A outra demonstração é igualmente bastante elegante e tem a característica de ter sido publicada em 1876 por um dos presidentes americanos do século XIX, James Abraham Garfield (1831-1881):

Garfield começou por construir um trapézio e no seu interior três triângulos rectângulos. A figura apresentava-se deste modo:

Calculando a área do trapézio rectângulo cujas bases são a e b vem:

A_t = (a + b)/2 x h, sendo que h = a + b A_t= (a + b)/2 x (a + b)
A_t= (a²+ b²+ 2ab)/2

Por outro lado a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos rectângulos que o constituem:

A_t= (a x b)/2 + (a x b)/2 + (c x c)/2
A_t= 2ab/2 + c²/2
A_t = (2ab + c²)/2

Daqui resulta que podemos igualar as duas expressões que representam a área do trapézio:

a² + b² + 2ab = 2ab + c² retirando o denominador 2 nas duas expressões.

Simplificando, vem:

a² + b² = c² , como queríamos demonstrar, já que:

c – hipotenusa
a e b - catetos

Este nosso artigo não podia acabar sem um desafio para os leitores, que tem de ter a aplicação do teorema de Pitágoras e que fomos buscar, adaptando-o, a um livro de Brian Bolt – “Mais Actividades Matemáticas”:

O Pátio Medieval

Durante a época medieval, como todos sabem, a água consumida era retirada dos poços. Num mosteiro que existia perto de Viseu, construído em volta de um pátio de forma quadrada, foi aberto um poço cuja localização está de acordo com o desenho que se segue:

O desafio que vos propomos é, utilizando o teorema de Pitágoras, calcular quanto media cada lado do pátio do mosteiro.

Ficamos à espera das vossas soluções, comentários e sugestões.

palavras-chave: grandes matemáticos - pitágoras

publicado por Frantuco às 17:54
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Em 1905, após ter conseguido um emprego no serviço federal de patentes que o deixava com horas vagas para estudar os problemas da física contemporânea, o mundo tomou conhecimento de sua existência através da publicação de cinco artigos nos Annalen der Physik, revista científica alemã. No mesmo ano recebeu seu grau de Doutor pela Universidade de Zurique por uma dissertação teórica a respeito das dimensões de moléculas, e também publicou 3 trabalhos teóricos de grande importância para o desenvolvimento da Fïsica do século 20. No primeiro desses trabalhos, sobre o Movimento Browniano, ele realizou previsões significantes sobre o movimento de partículas distribuídas aleatoriamente em um fluido. Tais previsões seriam confirmadas posteriormente, através de experiências.

O segundo Trabalho, sobre o Efeito Fotoelétrico, continha uma hipótese revolucionária a respeito da natureza da luz. Einstein não somente propôs que sob certas circunstâncias pode-se considerar a luz feita de partículas, mas também a hipótese que a energia carregada por qualquer partícula de luz, chamada de fóton, é proporcional à freqüência da radiação. Uma década mais tarde, o Físico americano Robert Andrews Millikan confirmou experimentalmente a teoria de Einstein. Einstein, cuja preocupação primordial é compreender a natureza da radiação eletromagnética, desenvolveu posteriormente uma teoria que seria uma fusão dos modelos de partícula e onda para a luz. Novamente, poucos cientistas compreendiam ou aceitavam suas idéias

Biografia: Albert Einstein

Biografia de Einstein

A Teoria da Relatividade Especial

O terceiro grande Trabalho de Einstein em 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corposem Movimento", continha o que se tornou conhecido como a Teoria Especial da Relatividade. Desde a época do Matemático e Físico inglês Isaac Newton, os filósofos naturais (como os físicos e químicos eram conhecidos) tentavam compreender a natureza da matéria e da radiação e como elas interagiam. Não existia uma explicação consistente para o modo como a radiação (a luz, por exemplo) e a matéria interagiam quando vistas de referenciais inerciais diferentes, isto é, uma interação vista simultaneamente por um observador em repouso e um observador movendo-se com velocidade constante.

No Outono de 1905, após considerar estes problemas por 10 anos, Einstein percebeu que o problema não se encontrava em uma teoria da matéria, mas em uma teoria relativa às medidas. Einstein desenvolveu, então, uma teoria baseada em dois postulados: o Princípio da Relatividade, que as leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e o Princípio da Invariância da velocidade da luz, onde a velocidade da luz no vácuo é uma constante universal. Assim, Einstein era capaz de dar uma descrição correta e consistente de eventos físicos em referenciais inerciais diferentes sem fazer suposições especiais sobre a natureza da matéria e da radiação, ou como elas interagiam. Virtualmente, ninguém compreendeu seus argumentos. Einstein e a Teoria da Relatividade Geral Mesmo antes de deixar o Escritório de Patentes em 1907, começara o trabalho de entender e generalizar o teoria da relatividade para todos os referenciais. Ele iniciou enunciando o Princípio da Equivalência, um postulado que campos gravitacionais são equivalentes à acelerações de referenciais. Por exemplo, uma pessoa em um elevador em movimento não pode, em princípio, decidir se a força que atua sobre ela é causada pela gravidade ou pela aceleração constante do elevador. A Teoria da Relatividade Geral completa não foi publicada até 1916. Nesta teoria, as interações de corpos que até então haviam sido atribuídas às forças gravitacionais, são explicadas como a influência dos corpos sobre a geometria do espaço-tempo (espaço quadridimensional, uma abstração matemática, tendo as três dimensões do espaço Euclidiano e o tempo como a quarta dimensão).

Baseado em sua Teoria da Relatividade Geral, Einstein explicou as previamente inexplicáveis variações no movimento orbital dos planetas, e previu a inclinação da luz de estrelas na vizinhança de um corpo maciço, como o Sol. A confirmação deste último fenômeno durante um eclipse em 1919 tornou-se um grande evento, tornando Einstein famoso no mundo inteiro. Pelo resto de sua vida, Einstein devotou tempo considerável para generalizar ainda mais esta Teoria. Seu último esforço, a Teoria do Campo Unificado, que não foi inteiramente um sucesso, foi uma tentativa de compreender todas as interações físicas - incluindo as interações eletromagnéticas e as interações forte e fraca - em termos da modificação da geometria do espaço-tempo entre as entidades interagentes.

Entre 1915 e 1930 a grande preocupação da Física estava no desenvolvimento de uma nova concepção do caráter fundamental da matéria, conhecida como Teoria Quântica. Esta teoria continha a característica da dualidade partícula-onda (a luz exibe propriedades de partícula, assim como de onda), assim como o Princípio da Incerteza, que estabelece que a precisão nos processos de medidas é limitada. Einstein, entretanto, não aceitaria tais noções e criticou seu desenvolvimento até o final da sua vida. Disse Einstein uma vez: "Deus não joga dados com o mundo".

Durante a I Guerra Mundial, com cidadania suíça, ele trabalhou na generalização de sua teoria para os sistemas acelerados. Elaborou então, uma nova teoria da gravitação em que a clássica teoria de Newton assume papel particular. Einstein, com o passar dos anos, continua a não aceitar completamente diversas teorias. Por exemplo, Einstein não aceitava o princípio de Heisenberg que o universo estivesse abandonado ao acaso.

"Deus pode ser perspicaz, mas não é malicioso.", disse ele sobre este princípio que destruía o determinismo que estava ancorado a ciência desde a Grécia Antiga.

O Nobel

Einstein, o Cidadão do Mundo Após 1919, Einstein tornou-se internacionalmente reconhecido. Ganhou o Prêmio Nobel de Física em 1921 pelo seu estudo do campo fotoelétrico, e não pela teoria da relatividade, ainda controvertida. Sua visita a qualquer parte do mundo tornava-se um evento nacional; fotógrafos e repórteres o seguiam em qualquer lugar.

O Homem Político

Einstein aceitou uma cátedra no Institute for Advance Study, em Princeton, Estados Unidos e, em 1940, adquiriu cidadania americana após o surgimento da II Guerra Mundial, em 1939. Einstein sempre assumiu posições públicas sobre os grandes problemas de sua época, fosse a respeito da existência do Estado de Israel, da União Soviética, da luta contra o nazismo, ou, após a II Guerra Mundial, contra a fabricação de armas nucleares. Einstein entregou uma carta ao presidente americano advertindo-o da possibilidade de os alemães fabricarem sua própria bomba, no entanto, a carta levou os EUA a fabricarem a sua. Num último apelo, Einstein escreveu ao presidente Theodore Roosevelt, que morreu sem ao menos ler a carta. Truman, seu sucessor, ignorou-a e lançou a bomba atômica em Hiroshima e, três dias depois, em Nagasaki, no Japão. Em 1922, Einstein tornou-se membro do Comitê de Cooperação Intelectual da Liga das Nações. Em 1925, juntamente com o líder dos direitos civis indianos Mahatma Gandhi, trabalhou numa campanha pela abolição do serviço militar obrigatório. E, em 1930, Einstein colocou novamente seu nome em outro importante manifesto internacional, desta vez organizado pela Liga Internacional da Mulher pela Paz e Liberdade. Pedia o desarmamento internacional como sendo a melhor maneira de assegurar uma contínua paz. Envolveu-se ainda em várias causas sociais.

Em 1925, Albert Einstein veio ao Brasil. Esteve no Rio de Janeiro, em visita a instituições científicas e culturais. Proferiu duas conferências: na Academia Brasileira de Ciências e no Instituto de Engenharia do Rio de Janeiro. Quando Adolf Hitler começou seu governo na Alemanha, Einstein decidiu deixar a Alemanha imediatamente. Foi para os Estados Unidos e ocupou uma posição no Instituto para Estudos Avançados em Princeton, New Jersey.

Quando a morte de Einstein

Matemática aplicada à algumas histórias curiosas

http://conesul2006.tripod.com/Teorema/Ed1.pdf

domingo, 22 de abril de 2012

RAIZ QUADRADA POR TENTATIVA

Cálculo de raízes exatas
Para encontrar √324 , por exemplo, eles começam por encontrar o algarismo das dezenas da raiz. Este deve ser 1 porque 10 x 10 = 100 é menor do que 324, enquanto 20 x 20 = 400 é maior do que 324. Para encontrar o algarismo das unidades, eles procuram entre aqueles cujo quadrado termine em 4, como 324. Então poderia ser 2 ou 8. Reduzem, desta forma, as tentativas a 12 e a 18. Sendo 12 x 12 = 144 ≠ 324, a raiz procurada deve ser 18, o que de fato se verifica pois, 18 x 18 = 324.

Cálculo de raízes inteiras aproximadas
Para encontrar √388, em que o algarismo da dezena deve também ser 1, eles iniciam as tentativas com 9 no algarismo das unidades, pois 20 x 20 = 400 está muito mais próximo de 388 do que 10 x 10 = 100. E, como 19 x 19 = 361, a raíz aproximada será 19.

Cálculo de raízes aproximadas, com erros menores do que 0,1 ou 0,01 ou ...
Seja, por exemplo, o problema de calcular √13 , com erro menor do que 0,1. Basta aplicar o processo anterior ao número 13 x 10² = 1.300 e multiplicar a raiz obtida por 0,1. Mas o algarismo das dezenas na √1300 deve ser 3 e, como 30 x 30 = 900 e 40 x 40 = 1.600, é este que está mais próximo de 1.300. Então iniciaram suas tentativas partindo de 39x39 = 1.521, que é muito grande ainda, bem como 38 x 38 = 1.444 ou 37 x 37 = 1.369. Como 36 x 36=1.296, a raiz procurada será 3,6.
Analogamente, calcularam √38 com erro inferior a 0,1, verificando que o algarismo das dezenas de √3800 deve ser 6 e, como 60 x 60 = 3.600 está perto de 3.800, tentaram 61x61=3.721, donde √38 = 6,1....
N.R. Estas observações de proximidade tornam o processo de tentativas mais rápido. Um modo de "cercar" melhor o número que se procura é tentar o ponto médio. No cálculo de √1300, por exemplo, em que 30² e 40² são quase equidistantes de 1.300, seria o caso de tentar 35 x 35 = 1.225, que ainda é menor e, então, tentar 36 x 36, que é o número procurado.

DISPONÍVEL EM: http://www.matematica.com.br/site/dicas-de-matematica/648-raiz-quadrada-por-tentantiva.html

FRASES DE MATEMÁTICOS

Johann Friedrich Herbart

Tudo aquilo que as maiores inteligências, ao longo dos séculos, têm realizado em relação à compreensão das formas, por meio de conceitos preciosos, está reunido numa grande ciência - a matemática.

Jules Henri Poincaré

"O espaço é o objeto que o geômetra deve estudar."
"A Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas."
"É das hipóteses mais simples que mais devemos desconfiar, porque são aquelas que têm mais possibilidades de passar despercebidas."

Jacques Salomon Hadamard

"A matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências."

Jacques Bernoulli

"A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida."

Augustin Louis Cauchy

"De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para resolver?"
"Os homens morrem, mas as suas obras ficam".

René Descartes

"A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens."
"Toda a minha Física não passa de uma Geometria."

Galileu Galilei

"O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos."
"A natureza está escrita em linguagem matemática."
"A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o universo."

Gottfried Weilhelm Von Leibniz

"A Matemática é a honra do espírito humano."
"A Matemática é mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da Verdade."
"Deus é o Geômetra Onipotente, para quem o mundo é imenso problema matemático."
"A Matemática é a honra do espírito humano."
"A música é um exercício inconsciente de cálculos."
"Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade."

Albert Einstein

"O pensamento lógico pode levar você, de A a B, mas a imaginação te leva a qualquer parte do Universo."
"De absoluto só a Relatividade."

VOCÊ PODE ENCONTRAR ACESSANDO: http://www.matematica.com.br/site/frases-matematicas/607-frases-de-matematicos-i.html

MATEMÁTICA DINÂMICA (LINK)

http://www.matematicadinamica.com/ficheiros/geometria.html

quinta-feira, 19 de abril de 2012

Alfabeto grego

Aqui fica o alfabeto grego, tão usado em Matemática:

Este alfabeto, utilizado para escrever a língua grega, teve o seu desenvolvimento por volta do século IX a.C., mas ainda hoje se usa, não só na língua grega como também na Matemática, Física, Astronomia, etc.
fonte: http://matemativerso.wordpress.com/2008/05/26/alfabeto-grego/

Tabela de símbolos matemáticos

TABELA DESÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Símbolo	Nome	lê-se como	Categoria
+	adição	mais	aritmética
	4 + 6 = 10 significa que se se somar 4 a 6, a soma, ou resultado, é 10.
	Exemplo: 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
-	subtração	menos	aritmética
	9 - 4 = 5 significa que se se subtrair 4 de 9, o resultado será 5. O sinal - é único porque também denota que um número é negativo. Por exemplo, 5 + (-3) = 2 significa que se se somar cinco e menos três, o resultado será dois.
	Exemplo: 87 - 36 = 51
⇒ →	implicação material	implica; se ... então	lógica proposicional
	A ⇒ B significa: seA for verdadeiro então B é também verdadeiro; se A for falso então nada é dito sobre B. → pode ter o mesmo significado de ⇒, ou pode ter o significado que mencionamos mais abaixo sobre as funções
	x = 2 ⇒ x² = 4 é verdadeiro, mas x² = 4 ⇒ x = 2 é em geral falso (visto que x pode ser −2)
⇔ ↔	equivalência material	se e só se; sse	lógica proposicional
	A ⇔ B significa:A é verdadeiro se B for verdadeiro eA é falso se B é falso
	x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 =y
∧	conjunção lógica	e	lógica proposicional
	a proposição A ∧B é verdadeira se A e B foram ambos verdadeiros; caso contrário, é falsa
	Exemplo: n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 quando n é umnúmero natural
∨	disjunção lógica	ou	lógica proposicional
	a proposição A ∨B é verdadeira se A ou B (ou ambos) forem verdadeiros; se ambos forem falsos, a proposição é falsa
	Exemplo: n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔n ≠ 3 quando n é um número natural
¬ /	negação lógica	não	lógica proposicional
	a proposição ¬A é verdadeira se e só se A for falso Uma barra colocada sobre outro operador tem o mesmo significado que "¬" colocado à sua frente
	Exemplo: ¬(A ∧B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)
∀	quantificação universal	para todos; para qualquer; para cada	lógica predicativa
	∀ x: P(x) significa: P(x) é verdadeiro para todos osx
	Exemplo: ∀ n ∈N: n² ≥ n
∃	quantificação existencial	existe	lógica predicativa
	∃ x: P(x) significa: existe pelo menos um x tal queP(x) é verdadeiro
	Exemplo: ∃ n ∈N: n + 5 = 2n
=	igualdade	igual a	todas
	x = y significa: x e y são nomes diferentes para a exacta mesma coisa
	Exemplo: 1 + 2 = 6 − 3
:= :⇔	definição	é definido como	todas
	x := y significa: x é definido como outro nome para y P :⇔ Q significa: P é difinido como logicamente equivalente a Q
	Exemplo: cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x));A XOR B :⇔ (A ∨B) ∧ ¬(A ∧ B)
{ , }	chavetas de conjunto	o conjunto de ...	teoria de conjuntos
	{a,b,c} significa: o conjunto que consiste de a, b, e c
	Exemplo: N = {0,1,2,...}
{ : } { \| }	notação de construção de conjuntos	o conjunto de ... tal que ...	teoria de conjuntos
	{x : P(x)} significa: o conjunto de todos os x, para os quaisP(x) é verdadeiro. {x \|P(x)} é o mesmo que {x :P(x)}.
	Exemplo: {n ∈N :n² < 20} = {0,1,2,3,4}
∅ {}	conjunto vazio	conjunto vazio	teoria de conjuntos
	{} significa: o conjunto sem elementos; ∅é a mesma coisa
	Exemplo: {n ∈N : 1 < n² <4} = {}
∈ ∉	pertença a conjunto	em; está em; é um elemento de; é um membro de; pertence a	teoria de conjuntos
	a ∈ S significa:a é um elemento do conjunto S;a ∉ S significa: a não é um elemento de S
	Exemplo: (1/2)⁻¹ ∈N; 2⁻¹ ∉N
⊆ ⊂	subconjunto	é um subconjunto [próprio] de	teoria de conjuntos
	Exemplo: A ⊆ Bsignifica: cada elemento de A é também elemento de B (A é um subconjunto deB) A ⊂ B significa: A ⊆ B masA ≠ B (A é um subconjunto próprio de B)
	Exemplo: A ∩ B ⊆A; Q ⊂ R
∪	união teórica de conjuntos	a união de ... com ...; união	teoria de conjuntos
	A ∪ B significa: o conjunto que contém todos os elementos de A e também todos os de B, mas mais nenhuns
	Exemplo: A ⊆B ⇔ A ∪B = B
∩	intersecção teórica de conjuntos	intersecta com; intersecta	teoria de conjuntos
	A ∩ B significa: o conjunto que contém todos os elementos que A eB têm em comum
	Exemplo: {x ∈R : x² = 1} ∩N = {1}
\	complemento teórico de conjuntos	menos; sem	teoria de conjuntos
	A \ B significa: o conjunto que contém todos os elementos de A que não estão em B
	Exemplo: {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
( ) [ ] { }	aplicação de função; agrupamento	de	teoria de conjuntos
	para a aplicação de função: f(x) significa: o valor da função f no elemento x para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro dos parênteses
	Exemplo: Se f(x) := x², então f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, mas 8/(4/2) = 8/2 = 4
f:X→Y	seta de função	de ... para	funções
	f: X → Y significa: a função f mapeia o conjunto X no conjunto Y
	Exemplo: Considere a função f: Z → N definida por f(x) = x²
N	números naturais	N	números
	N significa: {0,1,2,3,...}
	Exemplo: {\|a\| :a ∈ Z} =N
Z	números inteiros	Z	números
	Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
	Exemplo: {a : \|a\| ∈ N} =Z
Q	números racionais]	Q	números
	Q significa: {p/q : p,q ∈Z, q ≠ 0}
	3.14 ∈ Q;π ∉ Q
R	números reais	R	números
	R significa: {lim_n→∞ a_n : ∀ n ∈ N: a_n ∈ Q, o limite existe}
	π ∈ R; √(−1) ∉ R
C	números complexos	C	números
	C significa: {a +bi : a,b ∈R}
	i = √(−1) ∈C
< >	comparação	é menor que, é maior que	ordenações parciais
	x < y significa:x é menor que y; x >y significa: x é maior que y
	Exemplo: x <y ⇔ y > x
≤ ≥	comparação	é menor ou igual a, é maior ou igual a	ordenações parciais
	x ≤ y significa: x é menor que ou igual a y; x ≥ y significa: xé maior que ou igual a y
	Exemplo: x ≥ 1 ⇒ x² ≥x
√	raiz quadrada	a raiz quadrada principal de; raiz quadrada	números reais
	√x significa: o número positivo, cujo quadrado é x
	Exemplo: √(x²) = \|x\|
∞	infinito	infinito	números
	∞ é um elemento da linha numérica estendida que é maior que qualquer número real; ocorre com frequência emlimites
	Exemplo: lim_x→0 1/\|x\| = ∞
π	pi	pi	geometria euclidiana
	π significa: a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro
	Exemplo: A = πr²é a área de um círculo de raio r
!	factorial	factorial	análise combinatória
	n! é o produto 1×2×...×n
	Exemplo: 4! = 24
\| \|	valor absoluto	valor absoluto de; módulo de	números
	\|x\| significa: a distância no eixo dos reais (ou no plano complexo) entre x e zero
	Exemplo: \|''a'' + ''bi''\| = √(a² + b²)
\|\| \|\|	norma	norma de; comprimento de	análise funcional
	\|\|x\|\| é a norma do elemento x de umespaço vectorial
	Exemplo: \|\|''x''+''y''\|\| ≤ \|\|''x''\|\| + \|\|''y''\|\|
∑	soma	soma em ... de ... até ... de	aritmética
	∑_k=1ⁿ a_k significa: a₁ +a₂ + ... +a_n
	Exemplo: ∑_k=1⁴ k² =1² + 2² + 3² + 4² =1 + 4 + 9 + 16 = 30
∏	produto	produto em ... de ... até ... de	aritmética
	∏_k=1ⁿ a_k significa:a₁a₂···a_n
	Exemplo: ∏_k=1⁴ (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
∫	integração	integral de ... até ... de ... em função de	cálculo
	∫_a^b f(x) dx significa: a área entre o eixo dos x e ográfico da função f entre x =a e x = b
	∫₀^b x² dx =b³/3; ∫x² dx =x³/3
f '	derivada	derivada de f; primitiva de f	cálculo
	f '(x) é a derivada da função f no ponto x, i.e. odeclive da tangente nesse ponto
	Exemplo: Se f(x) =x², então f '(x) = 2x
∇	gradiente	del, nabla, gradiente de	cálculo
	∇f (x₁, …,x_n) é o vector das derivadas parciais (df / dx₁, …, df /dx_n)
	Exemplo: Se f(x,y,z) = 3xy +z² então ∇f = (3y, 3x, 2z)

segunda-feira, 16 de abril de 2012

O uso de diferentes meios na utilização das tecnologias na sala de aula..

Existem vários meios diferentes para a utilização da tecnologia na sala de aula, como por exemplo: wiki, webquest, blog, entre outros. O uso destes meios tecnológicos permite aos professores enriquecer suas aulas, pois pode variar os conteúdos de uma forma mais dinâmica, o que muitas vezes é o que os alunos esperam. Quando a aula é mais atraente, o aluno automaticamente se sente mais chamado para o assunto a ser estudado, ou seja, se sente mais motivado.

Com o uso dos blogs por exemplo, no texto da revista época fica claro que os alunos desenvolvem através do uso destes, uma autonomia maior em relação a busca de novos conhecimentos, encontrando mais fontes de pesquisas, e acabam apresentando uma visão mais critica do mundo, deixando de lado um pouco da timidez. Mais um item interessante é que ao se trabalhar com blogs, os alunos normalmente acabam se identificando um pouco mais com o professor e o resultado final acrescenta muito em seus conhecimentos. Algo também que é muito interessante ao se trabalhar com os blogs é que os pais podem acompanhar o que seus filhos estão fazendo durante as aulas, e esse acompanhamento é fundamental.

Agora, quando se fala do uso de uma wiki na sala de aula, é interessante lembrar que ao construir uma página colaborativa, os alunos tendem à trabalhar mais em grupo, trocando informações e colaborando para que a wiki seja mais completa em relação aos seus conteúdos e idéias. A wiki é interessante para postar materiais para os alunos, e para disponibilizar links de textos, por exemplo, de aulas que já passaram e de aulas que ainda serão executadas, possibilitando desta forma, que o aluno possa ter acesso para eventuais leituras e até mesmo para que ele também seja inserido na era digital, onde o uso das tecnologias adquire maior valor diante do crescimento da desta, além de contribuir para o crescimento intelectual de cada um que faz uso deste meio de comunicação.

Quando nos referimos ao uso de webquest na sala de aula, podemos destacar vários pontos positivos, pois é um forma mais direcionada de executar uma aula,com o uso da internet, pois no uso de webquest, os alunos tem uma introdução do assunto a ser estudado, bem como todo o suporte para a resolução da atividade proposta e dos meios a serem pesquisados para encontrar o conteúdo necessário para o aprofundamento do assunto, além é claro, de toda a estrutura da avaliação e das conclusões à serem obtidas após o término desta aula.

Logo, quando um professor pretende realizar suas aulas com o uso de tecnologias, mais precisamente quando direcionada para a internet, é muito importante que esta aula seja bem planejada e que se tenha um objetivo à alcançar bem definido. Desta forma, o uso dos meios citados acima, permite ao aluno, pesquisas mais abrangentes sobre diversos conteúdos, através de caminhos definidos e orientados pelos professores.

Hoje, com a era digital, o processo da construção do saber exige que o compartilhamento de idéias seja construído através de uso da informática, pois é considerada a forma mais dinâmica de evoluir no processo do conhecimento.