Números Felizes

Um número natural "a" é dito "Número Feliz" se, e somente se, existe um termo unitário na seqüência {an}, onde a = a₁ e a_n+1 é a soma dos quadrados dos algarismos (na base decimal) de a_n.

Bem, isso quer dizer, por exemplo, que 7 é um Número Feliz.

Veja como se chegou a conclusão do 7 ser feliz.

Montamos uma seqüência com o primeiro termo valendo 7 e buscamos a existência de um termo unitário (pela regra da soma dos quadrados dos algarimos do número anterior)

termo	valor	soma dos quadrados dos algarismos
a1	7	72 = 49
a2	49	42 + 92 = 16 + 81 = 97
a3	97	92 + 72 = 130
a4	130	12 + 32 + 02 = 10
a5	10	12 + 02 = 1
a6	1

Cardica Se um número X é feliz, então qualquer permutação de seus algarismos produzirá outro número Y, também feliz. Exemplo: 130, 013, 310, 301, 103, 031 Além disso, a inserção de algarimos "0" em qualquer número feliz, ainda gera um número feliz. Este fato, isolado, já garante que existem infinitos números felizes. Usando essa dica, é fácil saber, por exemplo, que 2008 é um número feliz, pois 28 é feliz ( a inserção dos zeros no meio é indiferente).

Assim, o número 7 é um número feliz porque foi possível determinar um termo unitário na seqüência.

Repare que na mesma seqüência (7, 49, 97, 130, 10, 1), os números entre 7 e 1 também são felizes porque usando o mesmo processo, todos são "levados" ao termo unitário, inevitavelmente.

São exemplos de Números Felizes:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496

Os números naturais que não são felizes não fecham uma seqüência com o termo unitário. São gerados infinitos termos (com a regra da soma dos quadrados dos algarismos e só parar no termo unitário)...

Exemplo disso é o número a = 9 (não é feliz):

	termo	valor	soma dos quadrados dos algarismos
	a1	9	92= 81
	a2	81	82 + 12 = 65
	a3	65	62 + 52 = 61
	a4	61	62 + 12 = 37
	a5	37	32 + 72 = 58
	a6	58	52 + 82 = 89
	a7	89	82 + 92 = 145
	a8	145	12 + 42 + 52 = 42
	a9	42	42 + 22 = 20
	a10	20	22 + 02 = 4
	a11	4	42 = 16
	a12	16	12 + 62 = 37
	a13	37	este termo já ocorreu como "a5"

Verifique que um número não feliz vai conter, ciclicamente, os termos em seqüência (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) a partir de um determinado termo.

fonte: http://www.profcardy.com/dicionario/matepedia.php?rg=36