Biografia de Einstein
Albert Einstein nasceu numa sexta-feira, dia 14 de março de 1879, em Ulm, uma próspera cidade ao sul da Alemanha. Ele foi o primeiro e único filho homem de Hermman Einstein e Pauline Koch. Já nos primeiros anos de sua vida, Einstein provocava comentários. Sua mãe estava convencida de que o formato de sua cabeça era fora do comum e temia que tivesse algum problema mental, porque era muito lento para aprender a falar. Passou sua juventude em Munique, onde sua família possuía uma pequena oficina destinada à construção de máquinas elétricas. Einstein não falou até os 3 anos de idade, mas desde jovem mostrou uma curiosidade brilhante sobre a Natureza, e uma habilidade para compreender conceitos matemáticos avançados. Com 12 anos de idade, aprendeu por conta própria a Geometria Euclideana.
Albert cresceu forte e saudável, embora não gostasse de praticar esportes organizados. Era um garoto quieto e particularmente solitário, que preferia ler e ouvir música. Não gostava do regime monótono e do espírito sem imaginação da escola em Munique. Se considerasse os conselhos de um de seus professores teria abandonado a escola. Quando sua família mudou-se para Milão, na Itália, Einstein tinha 15 anos. Nesta ocasião passou 1 ano com sua família em Milão. Terminou a escola secundária em Arrau, Suíça, e com boas notas somente em Matemática, entrou, em 1896, no Instituto Politécnico de Zurique, onde se graduou em 1901 com dificuldades. Einstein não gostava dos métodos de instrução lá. Freqüentemente não assistia às aulas, usando o tempo para estudar Física ou tocar seu adorado violino. Passou nos exames e graduou-se em 1900. Seus professores não o tinham como grande aluno e não o recomendariam para uma posição na Universidade. Por dois anos Einstein trabalhou como tutor e professor substituto. Em 1902, assegurou uma posição como examinador no Escritório de Patentes da Suíça em Bern. Em 1903, casou-se com Mileva Maric, que havia sido sua colega na Escola Politécnica.
Grandes Matemáticos - Pitágoras
Pitágoras é especialmente conhecido pelo teorema que leva o seu nome e que quase todos os estudantes que completam o ensino básico conhecem.
Nasceu, segundo alguns, na ilha grega de Samos, no mar Egeu, no ano 580 a.C.
Segundo dizem também, embora se saiba pouco da sua juventude, ganhou prémios nos Jogos Olímpicos. Na idade adulta a sua sede conhecimento levou-o a percorrer o médio oriente e viajou pelo Egipto, Indostão, Pérsia, Creta, Palestina.
Acabou por se fixar em Crotona no sul de Itália, onde fundou uma escola (Escola Pitagórica), cuja filosofia tinha um carácter hermético e o conhecimento era transmitido oralmente, não havendo escritos. Durante cerca de 40 anos ensinou aos seus discípulos que “o número era tudo”.
“Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões”.
(in http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/pitagoras.htm )
Pitágoras estudou e construiu os poliedros regulares que ficaram conhecidos como sólidos platónicos, tendo sido Platão o seu divulgador. São cinco e aparecem associados ao universo e aos seus elementos, tendo em atenção a forma das suas faces. O dodecaedro simbolizava o próprio universo pela sua harmonia.
(In http://mat.absolutamente.net/recursos/fichas/10geo/platon.pdf)
Pitágoras, no entanto, como já dissemos, é especialmente conhecido pelo seu teorema, que afirma que o quadrado da hipotenusa num triângulo rectângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.
São conhecidas algumas dezenas ou mesmo centenas de demonstrações do teorema. Vamos apresentar duas:
- Uma delas utiliza algumas peças do tangran para fazer a demonstração.
Num dos catetos do triângulo rectângulo pequeno cabe a peça quadrada do tangran; no outro cateto cabe um quadrado feito com os dois triângulos pequenos e na hipotenusa cabe um quadrado formado pelo triângulo médio e os dois triângulos pequenos. Verifica-se, assim, que o teorema fica demonstrado já que o triângulo médio é equivalente ao quadrado. Uma figura ilustra bem a situação:
Como é fácil de verificar a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois. Está assim demonstrado o teorema de Pitágoras.
- A outra demonstração é igualmente bastante elegante e tem a característica de ter sido publicada em 1876 por um dos presidentes americanos do século XIX, James Abraham Garfield (1831-1881):
Garfield começou por construir um trapézio e no seu interior três triângulos rectângulos. A figura apresentava-se deste modo:
Calculando a área do trapézio rectângulo cujas bases são a e b vem:
At = (a + b)/2 x h, sendo que h = a + b At = (a + b)/2 x (a + b)
At = (a2+ b2+ 2ab)/2
Por outro lado a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos rectângulos que o constituem:
At = (a x b)/2 + (a x b)/2 + (c x c)/2
At = 2ab/2 + c2/2
At = (2ab + c2)/2
Daqui resulta que podemos igualar as duas expressões que representam a área do trapézio:
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 retirando o denominador 2 nas duas expressões.
Simplificando, vem:
a2 + b2 = c2 , como queríamos demonstrar, já que:
c – hipotenusa
a e b - catetos
Este nosso artigo não podia acabar sem um desafio para os leitores, que tem de ter a aplicação do teorema de Pitágoras e que fomos buscar, adaptando-o, a um livro de Brian Bolt – “Mais Actividades Matemáticas”:
O Pátio Medieval
Durante a época medieval, como todos sabem, a água consumida era retirada dos poços. Num mosteiro que existia perto de Viseu, construído em volta de um pátio de forma quadrada, foi aberto um poço cuja localização está de acordo com o desenho que se segue:
Ficamos à espera das vossas soluções, comentários e sugestões.
Nasceu, segundo alguns, na ilha grega de Samos, no mar Egeu, no ano 580 a.C.
Segundo dizem também, embora se saiba pouco da sua juventude, ganhou prémios nos Jogos Olímpicos. Na idade adulta a sua sede conhecimento levou-o a percorrer o médio oriente e viajou pelo Egipto, Indostão, Pérsia, Creta, Palestina.
Acabou por se fixar em Crotona no sul de Itália, onde fundou uma escola (Escola Pitagórica), cuja filosofia tinha um carácter hermético e o conhecimento era transmitido oralmente, não havendo escritos. Durante cerca de 40 anos ensinou aos seus discípulos que “o número era tudo”.
“Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões”.
(in http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/p
Pitágoras estudou e construiu os poliedros regulares que ficaram conhecidos como sólidos platónicos, tendo sido Platão o seu divulgador. São cinco e aparecem associados ao universo e aos seus elementos, tendo em atenção a forma das suas faces. O dodecaedro simbolizava o próprio universo pela sua harmonia.
(In http://mat.absolutamente.net/recursos/fi
Pitágoras, no entanto, como já dissemos, é especialmente conhecido pelo seu teorema, que afirma que o quadrado da hipotenusa num triângulo rectângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.
São conhecidas algumas dezenas ou mesmo centenas de demonstrações do teorema. Vamos apresentar duas:
- Uma delas utiliza algumas peças do tangran para fazer a demonstração.
Num dos catetos do triângulo rectângulo pequeno cabe a peça quadrada do tangran; no outro cateto cabe um quadrado feito com os dois triângulos pequenos e na hipotenusa cabe um quadrado formado pelo triângulo médio e os dois triângulos pequenos. Verifica-se, assim, que o teorema fica demonstrado já que o triângulo médio é equivalente ao quadrado. Uma figura ilustra bem a situação:
Como é fácil de verificar a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois. Está assim demonstrado o teorema de Pitágoras.
- A outra demonstração é igualmente bastante elegante e tem a característica de ter sido publicada em 1876 por um dos presidentes americanos do século XIX, James Abraham Garfield (1831-1881):
Garfield começou por construir um trapézio e no seu interior três triângulos rectângulos. A figura apresentava-se deste modo:
Calculando a área do trapézio rectângulo cujas bases são a e b vem:
At = (a + b)/2 x h, sendo que h = a + b At = (a + b)/2 x (a + b)
At = (a2+ b2+ 2ab)/2
Por outro lado a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos rectângulos que o constituem:
At = (a x b)/2 + (a x b)/2 + (c x c)/2
At = 2ab/2 + c2/2
At = (2ab + c2)/2
Daqui resulta que podemos igualar as duas expressões que representam a área do trapézio:
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 retirando o denominador 2 nas duas expressões.
Simplificando, vem:
a2 + b2 = c2 , como queríamos demonstrar, já que:
c – hipotenusa
a e b - catetos
Este nosso artigo não podia acabar sem um desafio para os leitores, que tem de ter a aplicação do teorema de Pitágoras e que fomos buscar, adaptando-o, a um livro de Brian Bolt – “Mais Actividades Matemáticas”:
O Pátio Medieval
Durante a época medieval, como todos sabem, a água consumida era retirada dos poços. Num mosteiro que existia perto de Viseu, construído em volta de um pátio de forma quadrada, foi aberto um poço cuja localização está de acordo com o desenho que se segue:
O desafio que vos propomos é, utilizando o teorema de Pitágoras, calcular quanto media cada lado do pátio do mosteiro.
Ficamos à espera das vossas soluções, comentários e sugestões.
palavras-chave: grandes matemáticos - pitágoras
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Em 1905, após ter conseguido um emprego no serviço federal de patentes que o deixava com horas vagas para estudar os problemas da física contemporânea, o mundo tomou conhecimento de sua existência através da publicação de cinco artigos nos Annalen der Physik, revista científica alemã. No mesmo ano recebeu seu grau de Doutor pela Universidade de Zurique por uma dissertação teórica a respeito das dimensões de moléculas, e também publicou 3 trabalhos teóricos de grande importância para o desenvolvimento da Fïsica do século 20. No primeiro desses trabalhos, sobre o Movimento Browniano, ele realizou previsões significantes sobre o movimento de partículas distribuídas aleatoriamente em um fluido. Tais previsões seriam confirmadas posteriormente, através de experiências.
O segundo Trabalho, sobre o Efeito Fotoelétrico, continha uma hipótese revolucionária a respeito da natureza da luz. Einstein não somente propôs que sob certas circunstâncias pode-se considerar a luz feita de partículas, mas também a hipótese que a energia carregada por qualquer partícula de luz, chamada de fóton, é proporcional à freqüência da radiação. Uma década mais tarde, o Físico americano Robert Andrews Millikan confirmou experimentalmente a teoria de Einstein. Einstein, cuja preocupação primordial é compreender a natureza da radiação eletromagnética, desenvolveu posteriormente uma teoria que seria uma fusão dos modelos de partícula e onda para a luz. Novamente, poucos cientistas compreendiam ou aceitavam suas idéias
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