Graphmática
Introdução
O Graphmática é um aplicativo que trabalha com duas dimensões, sendo capaz de representar graficamente funções polinomiais de qualquer grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas, etc. Também é útil no Cálculo Diferencial e Integral: hachura áreas para ilustrar integrais, desenha gráficos de derivadas e cria gráficos de equações diferenciais ordinárias. Possibilita, assim, diversas aplicações em matemática. O Graphmática é versátil, uma vez que possibilita, em trigonometria, trabalhar com o ângulo em graus ou em radianos. Além disso, os gráficos podem ser representados com coordenadas cartesianas ou em coordenadas polares, facilitando a criação de figuras que envolvam funções trigonométricas. É permitida a construção por parâmetros (retas paramétricas, por exemplo), e inequações são representadas muito facilmente. Não é um programa de Geometria Dinâmica (veja a definição), mas é um programa de Matemática Dinâmica.
 O software foi criado por Keith Hertzer, um bacharel em Engenharia Elétrica e Ciência da Computação da Universidade de Berkeley. O endereço da Internet que dispõe o download do programa é escrito em inglês (www.graphmatica.com), mas as versões disponíveis são diversas: desde uma original (em inglês) até traduções para o espanhol, francês, coreano e, inclusive, português de Portugal. Em breve haverá uma tradução para o português brasileiro (Estou trabalhando no projeto!!).  Neste site apresento um guia de usuário para o Graphmática da versão 2003p onde no primeiro capítulo é mostrado as funções de cada menu do programa e no capítulo 2, a sintaxe para escrever as equações corretamente.  Este guia foi desenvolvido em especial para as aulas de Introdução ao Cálculo, Cálculo Diferencial e Integral e Cálculo Integral dado nos cursos de licenciatura da UNIBAN. É destinado aos professores e alunos sendo de uso livre, podendo imprimir quantas cópias desejar, desde que, preserve o nome do autor. fonte: http://www.geometriadinamica.com.br/index.php?option=com_content&view=article&id=49&Itemid=57 |
segunda-feira, 17 de setembro de 2012
software Graphmática
Software POLY
Introdução
Poly é um programa Shareware (Programas que funcionam por tempo determinado ou apresentam limitações. Depois precisam ser comprados) desenvolvido para explorar e visualizar poliedros. Pode ser encontrado no site http://www.peda.com/poly/, ainda não possui versão em português, mas mesmo assim é bem simples de se usar, seus comandos e menus são bem intuitivos. Com ele é possível ver uma classe de poliedros fazendo com eles algumas operações, tais como, planificar, girar e salvar como gif animado, imprimir o desenho tanto em 3D quanto planificado. É um programa ideal para o ensino e aprendizagem da Geometria Espacial, pois, facilita a visualização das figuras em 3D.
O que é Geometria Dinâmica?
| Escrito por Professor Izaias Cordeiro Néri | |
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É um termo utilizado para nomear (indicar) um método dinâmico e interativo para o ensino e aprendizagem de geometria e suas propriedades usando ambientes computacionais destinados a esse fim. Essa nomenclatura foi criada pela empresa Key Curriculum Press (criadores do Geometer´s Sketchpad) no intuito de diferenciar dos demais programas existentes. Portanto, a Geometria Dinâmica não pode ser confundida como sendo uma “nova geometria” como, por exemplo, a Geometria Não-Euclidiana proposta por Lobachevsky.
O termo “dinâmico” na matemática se refere às ideias de movimento e mudança. Os programas de Geometria Dinâmica permitem construir e a partir desta construção, o aluno poderá visualizá-la de diversas formas o que facilita a compreensão do comportamento geométrico dos elementos envolvidos. Depois de realizada a construção, os pontos, as retas e os círculos poderão ser deslocados na tela conservando as relações geométricas.
Os primeiros programas de computador usados para Geometria Dinâmica foram o Geometer´s Sketchpad (em 1989) e o Cabri Géomètre (em 1988). Esses programas agem como se fossem réguas e compassos virtuais (eletrônicos). Hoje existem vários outros programas de Geometria Dinâmica, que se diferem por sua estrutura ou valor comercial, alguns desses programas são mais completos e vão além da geometria, podendo ser classificados como Matemática Dinâmica.
Nos primeiros anos da invenção e uso dos computadores era inimaginável a manipulação destes aparelhos para a geometria, devido eles não possuírem uma alta resolução gráfica como a dos computadores de hoje.
Já faz um tempo que computadores passaram a ser utilizados por pessoas menos especialistas do ramo da informática, fato devido ao facilitamento da manipulação de programas e acesso à internet com elementos visuais intuitivos através de ícones que sugerem a ação futura do usuário.
Novas áreas para o uso do computador foram abertas e a escola começa a abrir as portas para esse novo aliado aos processos de ensino e aprendizagem. Mas, os professores, ao utilizarem programas de GD em suas aulas, deverão adotar uma postura de análise crítica perante os resultados emitidos pelo computador. A ênfase está na construção do conhecimento matemático, onde a proposta é de explorar a geometria através de alguma interface computacional, mas que envolva um modelo de um domínio de conhecimento matemático.
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segunda-feira, 3 de setembro de 2012
A História do Símbolo do Infinito
Os Matemáticos estabeleceram a notação aparentemente críptica das fórmulas não como linguagem secreta, mas como maneira de aumentar a clareza. O símbolo de infinito é um dos primeiros exemplos disso.
A literatura matemática de antigamente era, pelo menos à primeira vista, mais compreensível e acessível do que hoje, pois para descrever objetos matemáticos e suas relações, os autores utilizavam a linguagem escrita corriqueira e então.
A moderna linguagem de fórmulas, que impõe vários obstáculos intransponíveis para muitos leigos e, com isso, contribui para a pouca popularidade da disciplina, deve sua existência não a uma necessidade de proteção de segredos. Ao contrário, ela é assim pela necessidade de clareza. A história mostra que os símbolos surgiram para melhor formular hipóteses e argumentos, e com isso ganhar enfoques novos e mais precisos.
O século XVII representou um salto no desenvolvimento da matemática e das ciências naturais. Entre outras coisas, foi criado o cálculo diferencial e integral para tratar de problemas físicos concretos, relativos ao movimento e velocidades dos corpos. Na virada para o século XVIII, Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) lançaram as bases de uma teoria sistemática. Essa evolução geral de conteúdo na matemática favoreceu o nascimento da linguagem de fórmulas.
A literatura matemática de antigamente era, pelo menos à primeira vista, mais compreensível e acessível do que hoje, pois para descrever objetos matemáticos e suas relações, os autores utilizavam a linguagem escrita corriqueira e então.
A moderna linguagem de fórmulas, que impõe vários obstáculos intransponíveis para muitos leigos e, com isso, contribui para a pouca popularidade da disciplina, deve sua existência não a uma necessidade de proteção de segredos. Ao contrário, ela é assim pela necessidade de clareza. A história mostra que os símbolos surgiram para melhor formular hipóteses e argumentos, e com isso ganhar enfoques novos e mais precisos.
O século XVII representou um salto no desenvolvimento da matemática e das ciências naturais. Entre outras coisas, foi criado o cálculo diferencial e integral para tratar de problemas físicos concretos, relativos ao movimento e velocidades dos corpos. Na virada para o século XVIII, Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) lançaram as bases de uma teoria sistemática. Essa evolução geral de conteúdo na matemática favoreceu o nascimento da linguagem de fórmulas.
O inglês John Wallis (1616-1703) foi um dos estudiosos mais ligados a esse desenvolvimento formal da matemática de seu tempo. Além de introduzir uma série de simplificações na escrita algébrica, ele foi o primeiro a abreviar o conceito de “infinito” com o símbolo ∞.
O problema do infinito – seu significado para a matemática, a filosofia e a teologia – era debatido havia mais de 2 mil anos. Utilizada por Aristóteles, a palavra grega “apeiron” já se destacava no tempo pré-socrático pela sua multiplicidade de significados. Ela queria dizer sem limites, incerto, absurdamente grande, e possuía também uma conotação negativa, correspondente ao caos do qual o mundo se formou. Aristóteles, de fato, via a infinitude como imperfeição. Foi somente no início da era cristã que se identificou o “infinito” ao “Um” divino.
As reflexões metafísicas da Idade Média, acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo, prepararam o terreno para a abordagem matemática do cálculo infinitesimal no século XVII. Por exemplo, ao descartar os métodos dos antigos no cálculo de superfícies, comparar um círculo com um polígono de infinitos lados e calcular a superfície do círculo como soma de muitos triângulos, Johannes Kepler (1571-1630) tomou por base considerações filosófico-teológicas feitas por Nicolau de Cusa (1401-1464) a respeito do infinito real e potencial.
O problema do infinito – seu significado para a matemática, a filosofia e a teologia – era debatido havia mais de 2 mil anos. Utilizada por Aristóteles, a palavra grega “apeiron” já se destacava no tempo pré-socrático pela sua multiplicidade de significados. Ela queria dizer sem limites, incerto, absurdamente grande, e possuía também uma conotação negativa, correspondente ao caos do qual o mundo se formou. Aristóteles, de fato, via a infinitude como imperfeição. Foi somente no início da era cristã que se identificou o “infinito” ao “Um” divino.
As reflexões metafísicas da Idade Média, acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo, prepararam o terreno para a abordagem matemática do cálculo infinitesimal no século XVII. Por exemplo, ao descartar os métodos dos antigos no cálculo de superfícies, comparar um círculo com um polígono de infinitos lados e calcular a superfície do círculo como soma de muitos triângulos, Johannes Kepler (1571-1630) tomou por base considerações filosófico-teológicas feitas por Nicolau de Cusa (1401-1464) a respeito do infinito real e potencial.
A Algebrização da Geometria
Um aluno de Galileu, Bonaventura Cavalieri (1598-1647), foi quem adotou a visão de que a leis que valem para grandezas infinitas são diferentes das que aplicam às finitas. Com seu método dos indivisíveis ele estava menos preocupado com especulações filosóficas do que obter uma maneira prática de solucionar problemas, e conseguiu contornar certas dificuldades na soma de grandezas infinitamente pequenas.
Em seus trabalhos matemáticos, John Wallis aprimorou métodos de Cavalieri. Depois da faculdade. Quando ainda não tinha nenhuma relação com a matemática, foi ordenado sacerdote em Londres. Durante esse tempo, colaborou para a fundação da Royal Society, e em 1643 ganhou um prêmio especial por sai participação na guerra civil como decifrador de mensagens secretas.
Quando Wallis se tornou professor da cadeira Savilian de geometria, na Universidade de Oxford, isso não aconteceu por reconhecimento de suas realizações matemáticas, mas como agradecimento por suas atividades políticas. No entanto, ele logo provou ter méritos para essa posição acadêmica. Até hoje é lembrado como precursor do cálculo infinitesimal e principal antecessor de Newton, o qual foi bastante influenciado por sua obra Arithmetica infinitirum, de 1656.
Antes, Wallis já escrevera um trabalho (De sectionibus conics, 1655) em que se distanciava da concepção matemática grega ao descrever as seções da esfera como curvas planas, às quais correspondiam equações algébricas. Deduziu então as propriedades dessas seções diretamente das equações, sem argumento geométrico. Participou, assim, de um dos desenvolvimentos centrais da história da matemática, a algebrização da geometria.
Foi nessa obra que Wallis introduziu, pela primeira vez, uma modificação nas considerações de Cavalieri. Enquanto as superfícies de Cavalieri se dividiam em uma quantidade infinita de pedaços, Wallis fala de uma superfície como a soma de um número infinito de paralelogramos de igual tamanho, e descreve esse tamanho como uma “parte infinitamente pequena, 1/∞ do tamanho total, e o símbolo ∞ representa o infinito”.
Em seus trabalhos matemáticos, John Wallis aprimorou métodos de Cavalieri. Depois da faculdade. Quando ainda não tinha nenhuma relação com a matemática, foi ordenado sacerdote em Londres. Durante esse tempo, colaborou para a fundação da Royal Society, e em 1643 ganhou um prêmio especial por sai participação na guerra civil como decifrador de mensagens secretas.
Quando Wallis se tornou professor da cadeira Savilian de geometria, na Universidade de Oxford, isso não aconteceu por reconhecimento de suas realizações matemáticas, mas como agradecimento por suas atividades políticas. No entanto, ele logo provou ter méritos para essa posição acadêmica. Até hoje é lembrado como precursor do cálculo infinitesimal e principal antecessor de Newton, o qual foi bastante influenciado por sua obra Arithmetica infinitirum, de 1656.
Antes, Wallis já escrevera um trabalho (De sectionibus conics, 1655) em que se distanciava da concepção matemática grega ao descrever as seções da esfera como curvas planas, às quais correspondiam equações algébricas. Deduziu então as propriedades dessas seções diretamente das equações, sem argumento geométrico. Participou, assim, de um dos desenvolvimentos centrais da história da matemática, a algebrização da geometria.
Foi nessa obra que Wallis introduziu, pela primeira vez, uma modificação nas considerações de Cavalieri. Enquanto as superfícies de Cavalieri se dividiam em uma quantidade infinita de pedaços, Wallis fala de uma superfície como a soma de um número infinito de paralelogramos de igual tamanho, e descreve esse tamanho como uma “parte infinitamente pequena, 1/∞ do tamanho total, e o símbolo ∞ representa o infinito”.
A Possível Origem do Símbolo
Podemos apenas especular acerca das razões que o levaram a escolher esse símbolo. Wallis era filólogo bem antes de ser matemático, e sabia que o símbolo utilizado pelos romanos para o número 1000 (M) podia representar também “um número muito grande”. O matemático e filósofo holandês Bernhard Nieuwentijt (1654-1718) aproveitou, em seu trabalho Analysis infinitorum, de 1695, o símbolo “m” para o infinito. O novo símbolo de Wallis, porém, não tinha nenhum outro uso em matemática, além de ser bastante sugestivo, como laço que sempre retorna a si mesmo, como sugere a seqüência representada abaixo:
No começo do século XVIII, o símbolo entrou na literatura matemática e filosófica, sempre relacionado ao conceito do infinitamente pequeno, cuja legitimidade e significado estavam amparados pelo cálculo infinitesimal que nascia. Com o trabalho de Leonhard Euler (1707-1783), que adotou um ponto de vista formal e não admitiu legitimações metafísicas para as grandezas infinitamente pequenas, o símbolo ∞ tornou-se parte integrante da linguagem matemática.
No transcorrer do século XIX, a teoria das grandezas infinitesimais foi definitivamente substituída pela moderna teoria do cálculo diferencial e integral, que passou a exigir, com base no estudo de conceitos como os de continuidade e convergência, um cuidado crescente com a exatidão formal e lógica. O símbolo ∞ indicava, como hoje, processos de passagem ao limite: ele descreve, no sentido de Aristóteles, um infinito potencial.
No transcorrer do século XIX, a teoria das grandezas infinitesimais foi definitivamente substituída pela moderna teoria do cálculo diferencial e integral, que passou a exigir, com base no estudo de conceitos como os de continuidade e convergência, um cuidado crescente com a exatidão formal e lógica. O símbolo ∞ indicava, como hoje, processos de passagem ao limite: ele descreve, no sentido de Aristóteles, um infinito potencial.
George Cantor (1845-1918), fundador da teoria dos conjuntos e, portanto, da moderna teoria matemática do infinito real, preferiu separar os dois tipos de infinito também simbolicamente. Ele representou o primeiro número transfinito (infinito real) como 
(álefe zero). Essa escolha parece arbitrária só à primeira vista, pois a partir de 1700, o símbolo ∞ começou a ser utilizado também fora da matemática e da filosofia, para a representação do infinito ou da eternidade – por exemplo, nas cartas de tarô que representam o mago ou o trapaceiro. O correspondente símbolo cabalístico era a letra hebraica álefe.
(álefe zero). Essa escolha parece arbitrária só à primeira vista, pois a partir de 1700, o símbolo ∞ começou a ser utilizado também fora da matemática e da filosofia, para a representação do infinito ou da eternidade – por exemplo, nas cartas de tarô que representam o mago ou o trapaceiro. O correspondente símbolo cabalístico era a letra hebraica álefe.
Referências:
[1] Scientific American - Edição Especial nº 15: As diferentes faces do infinito
Mapa Conceitual: Equação da Reta
Esta atividade foi desenvolvida na aula de informática, através do uso do programa Cmap Tools, que por sua vez nos permite elaborar diversos tipos de mapas conceituais e inclusive inserir figuras que podem enriquecer o trabalho.
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